几何画板如何验证费尔巴哈定理

几何画板 2021-09-22 09:12:58

九点圆是几何学史上的一个著名问题，最早提出九点圆的是英国的培亚敏。一位高中教师费尔巴哈也曾研究了九点圆，他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里，文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质，故有人称九点圆为费尔巴哈圆。费尔巴哈定理如下：九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切。那么该如何在几何画板中验证该定理呢，动态演示定理的证明过程呢？本节我们就来一起探讨。

具体的操作步骤如下：

步骤一画出九点圆。这里就不再详细介绍画九点圆的过程，具体可参考：如何用几何画板画九点圆。

在几何画板中画出九点圆示例

步骤二作内切圆。选择点B、A、C，选择“构造”菜单中的“角平分线”，作出∠BAC 的平分线k，用同样的方法作出∠ABC平分线l，选择角平分线k、l，选择“构造”菜单中的“交点”，作出内切圆圆心Q，选择点Q、线段BC，选择“构造”菜单中的“垂线”，作出线段BC的垂线m，求出线段BC和垂线m的交点R。选择点Q、R，选择“构造”菜单中的“以圆心和圆周上的点作圆”，作出内切圆Q。

画出九点圆的内切圆示例

步骤三作旁切圆。选择点B、A，选择“构造”菜单中的“直线”，在直线AB上取一点S，选择点C、A、S，选择“构造”菜单中的“角平分线”，作出∠CAS 的平分线n，选择角平分线l、n，选择“构造”菜单中的“交点”，作出旁切圆圆心T，选择点T和线段AC，选择“构造”菜单中的“垂线”，作出垂线，求出AC和垂线的交点U，选择点T、U，选择“构造”菜单中的“以圆心和圆周上的点作圆”，作出旁切圆T。